Định nghĩa & quy tắc cơ bản

Đạo hàm là kiến thức có trong bài thi tốt nghiệp THPT quốc gia, do đó bất cứ học sinh nào cũng cần phải nắm vững phần này. Tuy nhiên, nhiều người học cảm thấy mảng này khá khó. Để học tốt chúng ta cần nắm vững lý thuyết, sau đó ứng dụng giải các bài tập để tiến đến thành thạo.

1. Định nghĩa

Kiến thức đầu tiên học sinh cần biết là định nghĩa:Theo toán học giải tích, đạo hàm là 1 hàm số, là đại lượng dùng để mô tả sự biến thiên tại 1 điểm của hàm số. Nói cách khác, đây chính là tỉ số giữa số gia và hàm số tại một điểm x0. Trong đó, chiều b...

2. Quy tắc cơ bản để áp dụng công thức đạo hàm lớp 11

Quy tắc cơ bản để áp dụng công thức đạo hàm lớp 11 chính là công thức tính y’ đầy đủ giúp chúng ta tính toán, giải các bài tập một cách chính xác và nhanh chóng.Quy tắc cơ bản để áp dụng công thức như sau:>>Xem thêm: IELTS là gì? Cập nhật mới nhất 2023 kỳ thi IELTS - Sakura Montessori

Công thức Đạo hàm tổng quan

Công thức tổng quan bao gồm 3 dạng: Đạo hàm của f(u) với u là hàm số, (f(x))’ với x là biến số và đạo hàm của một số phân thức hữu tỉ.>>Xem thêm: Nguyên tử khối là gì? Cập nhật bảng nguyên tử khối mới nhất 2023

Công thức Đạo hàm sơ cấp

Công thức sơ cấp:

Công thức Đạo hàm cấp cao

Công thức cấp cao:

Công thức Đạo hàm lượng giác

Công thức y’ của các hàm lượng giác và hàm lượng giác ngược:

Bảng công thức Đạo hàm mới nhất 2023

Bảng công thức mới nhất 2023:

Các dạng bài tập liên quan

Để giúp các em học sinh nắm bắt và hiểu rõ các công thức đạo hàm và ứng dụng như thế nào, chúng tôi đưa ra tổng hợp các dạng bài tập liên quan có kèm theo ví dụ dưới đây. Tích cực luyện tập bài tập sẽ giúp các em ghi nhớ kiến thức và giải bài tập thành thạo.

Dạng 1: Dạng bài tập đạo hàm áp dụng khái niệm, định nghĩa đạo hàm

Áp dụng khái niệm và định nghĩa giải các bài tập liên quan là dạng bài toán cơ bản và đơn giản. Cụ thể:

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số căn cứ và tiếp điểm

Đây là dạng bài tập cơ bản khá phổ biến, đề bài cho sẵn tiếp điểm M(x0, y0), phương trình tiếp tuyến của hàm số của đồ thị đường cong (C): y=f(x), có dạng y=y’(x0)(x-x0) + y0. Đây là dạng bài tập có lời giải đơn giản, học sinh chỉ cần thay thế các dữ liệu cho sẵn và tính toán để được đáp án chính xác.Ví dụ:Cho một hàm số y= x3 + 3mx2 + ( m+1)x + 1 (1), trong đó m là một tham số thực. Hãy tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị của hàm số tại điểm có hoành độ x = -1 và đi qua điểm A(1;2).Đáp án:TXD: Đ = Ry’ = f'(x)= 3×2 + 6mx + m + 1Với x0 = -1 => y0= 2m -1, f'( -1) = -5m + 4Phương trình tiếp tuyến tại M(-1; 2m - 1) : y= ( -5m + 4 ) ( x+1) + 2m -1 (d)Ta có A ( 1;2) ∈ (d) <=> ( -5m + 4).2 + 2m - 1 = 2 => m = 5/8

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức dựa vào điều kiện liên quan đến đạo hàm có sẵn

Dạng bài tập này yêu cầu học sinh tính toán, chứng minh các đẳng thức dựa vào các điều kiện có sẵn liên quan đến đạo hàm. Cụ thể:

Dạng 4: Phương trình và bất phương trình

Để tìm được kết quả chính xác của dạng toán này, học sinh cần kết hợp nhiều công thức đạo hàm và nguyên hàm và giải phương trình hay ất phương trình đã cho.

Dạng 5: Cho hệ số góc, viết phương trình tiếp

Dạng bài tập này cho biết Δ có hệ số góc là k, yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến Δ của (C) : y = f( x )Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm. Tính y’ => y'(x0)Phương trình tiếp tuyến Δ có hệ số góc k => y’ = (x0 ) = k (i)x0 => y0 = f(x0) => Δ : y = k (x - x0 )+ y0Lưu ý: Hệ số góc k = y'(x0 ) của tiếp tuyến Δ thường cho kiểu gián tiếp như sau:Ví dụ:Cho hàm số y=x3 +3 × 2 - 9x + 5 ( C). Tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C ).Đáp án:Ta có y’ = f'( x ) = 3×2 + 6x - 9Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, vậy f'( x0) = 3 x02 + 6 x0 - 9Ta có 3 x02 + 6×0- 9 =3 ( x02+ 2×0 +1) - 12 = 3 (x0+1)2- 12 > - 12Vậy min f( x0)= - 12 tại x0= -1 => y0=16=> Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y= -12( x+1)+16 <=> y= -12x + 4

Dạng 6: Áp dụng công thức đạo hàm, nguyên hàm giải bài tập

Muốn giải được bài tập dạng 6, học sinh cần nắm vững công thức y’ lớp 11 đã được học. Trong quá trình thực hiện, các em cần lưu ý rút gọn hàm số sau đó mới tiến hành tìm y’ của hàm số đó.

Dạng 7: Tính đạo hàm cấp cao (thông thường từ cấp 2 trở lên)

Muốn tính y’ cấp cao, học sinh cần nắm vững và áp dụng công thức tính từ cấp 2 hoặc công thức y(n) = (y(n-1))’. Lưu ý: Để tính y’ cấp n, các em cần thực hiện tính y’ từ cấp 1, 2, 3… để tìm ra công thức tính y’ cấp n.

Một số câu hỏi thường gặp

1. Cách ghi nhớ bảng đạo hàm hiệu quả?

Nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc ghi nhớ bảng công thức. Trên thực tế đây là công thức khó nhớ, mang tính đặc thù của chuyên ngành toán học nên việc học thuộc không đơn giản. Mời các em tham khảo cách ghi nhớ các công thức tính dễ nhớ, ghi nhớ lâu ngay dưới đây:

2. Cách giải bài tập đạo hàm nhanh nhất?

Muốn giải bài tập một cách nhanh chóng các em cần chú ý:

3. Công cụ tính đạo hàm online?

Để tìm kiếm các công cụ tính đạo hàm online các em học sinh có thể tìm kiếm trên các website uy tín. Sakura Montessori giới thiệu đến các em 5 website tính đạo hàm chính xác nhất và hoàn toàn miễn phí để tham khảo:Đạo hàm là nội dung kiến thức toán họ...