Z là tập hợp số gì? Các dạng bài tập về số nguyên Z

Trong toán học xuất hiện nhiều ký hiệu để biểu thị cho một tập hợp số như: N, Z, Q, R,... Vậy thì Z là tập hợp số gì? Hãy cùng M5s News tìm hiểu tập hợp Z gồm những số nào, cũng như một số bài toán minh họa nhé.

1. Z là tập hợp số gì? Ví dụ

Định nghĩa: Z là tập hợp các số nguyên (bao gồm số nguyên dương, số nguyên âm và số 0).

Có thể hiểu theo cách khác thì: Tập hợp Z là tập hợp các số nguyên không giới hạn, được sắp xếp theo thứ tự tự nhiên. Điều này có nghĩa là các số dương được sắp xếp theo thứ tự tăng dần và các số âm được sắp xếp theo thứ tự giảm dần.

Ví dụ: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3... là các số thuộc tập hợp Z.

Trong đó các số như: 1.3, 2/5, -3/6,...không thuộc tập hợp Z.

Vậy tập hợp Z gồm những số nào?

Tập hợp Z bao gồm số 0, số nguyên âm (ký hiệu là Z-) và số nguyên dương (ký hiệu là Z+).

Biểu diễn của tập hợp Z trên trục số như sau:

Trong đó ta có thể thấy, các số sẽ cách nhau 1 đơn vị, được sắp xếp tăng dần theo hướng mũi tên.

2. Ký hiệu tập hợp Z

Trong tập hợp Z còn được chia ra làm các ký hiệu như:

• Tập hợp Z+ là tập hợp các số nguyên dương, bao gồm các số nguyên lớn hơn hoặc bằng 1. Tập hợp Z+ có thể được biểu diễn dưới dạng: Z+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
• Tập hợp Z- là tập hợp các số nguyên âm, bao gồm các số nguyên nhỏ hơn hoặc bằng -1. Tập hợp Z- có thể được biểu diễn dưới dạng: Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1}

• Một tập hợp khác là Z*: với tất cả các số nguyên, trừ số 0, có thể biểu diễn như: Z* = {..., -2, -1, 1, 2,...} hoặc Z* = Z \ {0}
• Mới hơn với nhiều bạn chút là Zn: Đây là tập hợp các lớp tương đương của các số nguyên modulo n.

Ví dụ: Z2 ={1+2Z, 1+ 2Z, 3+ 2Z} được hiểu là tập hợp các lớp tương đương của các số nguyên modulo 2.

Tổng hợp lại: ta có các ký hiệu liên quan đến tập hợp Z gồm: Z+, Z-, Z*, Zn

Lưu ý: số 0 không thuộc tập hợp Z+ hoặc Z- (vì nó không phải là số nguyên dương hay số nguyên âm). Tuy nhiên, số 0 vẫn thuộc tập hợp Z.

3. Số nguyên là gì?

Số nguyên là một số được viết mà không chứa phần phân số.

Nói cách khác, các số nguyên không có bất kỳ phần thập phân nào và được biểu diễn dưới dạng các số tự nhiên dương 1, 2, 3, 4, 5, ... và các số tự nhiên âm -1, -2, -3, -4, -5, ..., và số 0.

Số nguyên đa phần sẽ được ứng dụng trong thực tế nhiều hơn những dạng số khác. Chính vì vậy, mà chúng ta cũng nên chú ý đến một vài điều về số nguyên khi áp dụng trong thực tế như là:

• Số nguyên thường được sử dụng để đếm số lượng, ví dụ như số sinh viên trong một lớp học, số người trong một gia đình, số lượng sản phẩm được sản xuất trong một ngày,...
• Số nguyên rất quan trọng trong toán học và được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau như khoa học máy tính, vật lý, kinh tế học, và nhiều lĩnh vực khác.
• Tuy nhiên, đối với trường hợp cần có độ chính xác cao như tính toán tài chính, khoa học, lưu trữ dữ liệu khoa học thì số nguyên lại ít được sử dụng hơn.
• Khi sử dụng trong các ứng dụng liên quan đến thời gian, đo lường thì số nguyên cũng không đáp ứng được tính chính xác tuyệt đối.

Có thể bạn quan tâm: Số nguyên tố là số gì? Bài tập về số nguyên tố kèm lời giải

4. Tính chất của số nguyên Z

Trong toán học, mỗi tập hợp hay mỗi con số cũng đều có những tính chất riêng của nó. Vậy thì ngay sau đây, Hãy cùng M5s News tìm hiểu rõ hơn tập số nguyên Z có tính chất gì nhé:

• Tổng và hiệu của hai số nguyên là một số nguyên. Tích của hai số nguyên cũng là một số nguyên. Do đó, tập hợp số nguyên Z là tập hợp đóng với phép toán cộng, hiệu và nhân.
• Tuy nhiên, thương của 2 số nguyên chưa chắc là số nguyên, nên có thể nói Z là tập hợp không đóng với thương.
• Do số nguyên là vô hạn nên không thể biết được đâu là số nguyên dương lớn nhất và đâu là số âm nguyên nhỏ nhất.
• Số nguyên dương trong tập Z nhỏ nhất bằng 1
• Số nguyên âm trong tập Z lớn nhất bằng - 1
• Trong một tập Z hữu hạn, tập con sẽ có số nguyên lớn nhất và nhỏ nhất đã được xác định

5. So sánh hai số nguyên

• Trường hợp hai số nguyên khác dấu thì số âm luôn nhỏ hơn số dương
• Trường hợp hai số cùng dấu đối với số nguyên âm, ta sẽ có cách tính bằng cách: Xét giá trị của 2 số đó, không tính dấu “-”, giá trị nào lớn hơn thì số âm đó bé hơn.

Ví dụ: So sánh -20 và -30

Ta thấy 20 < 30, tuy nhiên đây là số âm => -20 > -30

Cùng giải thêm một số bài tập so sánh các giá trị sau:

a. 1567 và - 129

b. - 247 và 25

c. - 397 và - 987

d. -126 và - 769

Đáp án:

a. 1567 > - 129

b. -247 < 25

c. -397 > - 987

d. - 126 > - 768

6. Quan hệ giữa tập hợp Z với các tập hợp số khác

Trong các tập hợp khác thì Z có vị trí và mối quan hệ như dưới đây:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Trong đó: “⊂” ký hiệu tập hợp con

Cụ thể hơn:

• Tập hợp N (số nguyên dương:) là một tập hợp con của tập hợp Z, bởi vì tập hợp N là tập hợp các số nguyên dương. Trong khi tập hợp Z là tập hợp số bao gồm tất cả các số nguyên dương, số 0 và các số nguyên âm. ta có thể biểu diễn tập N như sau:

Ví dụ: N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

• Tập hợp Q (tập hợp các số hữu tỉ): Tất cả các số nguyên đều là các số hữu tỉ. vừa bao gồm các số nguyên, các số được biểu diễn dưới dạng phân số.

Ví dụ: Q = {1/2, 3,-4/5,...}

• Tập hợp R (số thực): chứa tất cả các số hữu tỉ và vô tỉ, và cũng bao gồm tất cả các số trên trục số. Do đó, tập hợp Z là một tập hợp con của tập hợp R.

Ví dụ: R = { -3, -2/5, 1, 3/52, , số pi, số căn bậc 2,...}

Tham khảo thêm: Số thực là số gì? Phương pháp giải các dạng toán về số thực

Ngoài ra ta còn có tập hợp C (số phức): chứa tất cả các số phức, bao gồm số thực và số ảo. Một số phức có thể viết dưới dạng a + bi, trong đó a và b là các số thực, và i là đơn vị ảo, với tính chất i^2 = -1. Các số nguyên cũng có thể được xem như là số phức với i=0. Ta có N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

7. Bài tập về tập hợp số nguyên Z

Dạng 1: Tính giá trị

a. (- 60) + 70 + 20

b. (- 15) + 45 - (- 65)

c. (-10) x (-3) + 10

d. (- 60) : 2 + (- 30) : 5

Lời giải:

a. Đáp số: 30

b. Đáp số: 95

c. Đáp số: 40

d. Đáp số: -36

Dạng 2: Biểu diễn các điểm trên trục số

Bài tập: Trên trục một trục số, vẽ có điểm E, F, G biểu diễn lần lượt số -3, 1, 4

Lời giải: Các điểm được biểu diễn trên trục tọa độ là:

Dạng 3: Tìm giá trị x

Bài tập: Bạn hãy tìm số nguyên x trong bài dưới đây

a. -1 < x < 4

b. 3 < x < 10

c. 2 ≤ x + 3 < 5

d. 0 < x - 4 ≤ 5

Lời giải:

a. Ta thấy x nằm trong khoảng từ - 1 đến 4.

Vậy ta có x = {0;1;2;3}

b. X nằm trong khoảng từ 3 đến 10

Vậy đáp án x = {4; 5; 6; 7; 8; 9}

c. ta sẽ giải bài toán như sau:

2 ≤ x + 3 < 5

=> 2 - 3 ≤ x < 5 -3

=> -1 ≤ x < 2

Do trong bài có chứa dấu “≤” tức là sẽ nhận cả giá trị bằng.

Vậy x = {-1; 0; 1}

d. Tương tự câu c ta có:

0 < x - 4 ≤ 5

=> 4 < x ≤ 9

Vậy x = {5; 6; 7; 8; 9}

Dạng 4: Nhận biết số nguyên âm, nguyên dương thực tế

Bài tập minh họa như sau:

a. Bạn A nợ 3 triệu đồng

b. Chị C mua 3 con gà

c. Nhiệt độ ở Bắc cực dưới 0 độ C ở mức số 5

d. Một đỉnh núi cao 1650m

Lời giải:

a. A nợ tiền vậy là sẽ ở mức âm (- 3.000.000 đồng)

b. Gà là vật có thật, mua vào tức là có 3 con

c. Dưới 0 độ, tức là - 5 độ C

d. Đỉnh núi ta sẽ trình bày theo chiều dương là 1650

Thông qua bài viết này, M5s News hy vọng sẽ gửi đến các bạn biết Z là tập hợp số gì cũng nhưmột số dạng bài tập về số nguyên Z. Chúc cho các bé học tập tốt. Nếu còn thắc mắc gì về các tập hợp số khác, hãy bình luận bên dưới nhé!